دانلود مقاله روشی برای مدل سازی برخورد غیر خطی و بدون اصطکاک اجسام

دانلود مقاله روشی برای مدل سازی برخورد غیر خطی و بدون اصطکاک اجسام

چکیده

در این مقاله، روشی کلی برای حل عددی مسائل تماس – رخورد بدون اصطکاک دو جسم غیر صلب بر مبنای روش المان محدود به نام « روش المان های متحد » ارائه گردیده است. در حوزه علم مکانیک و سازه، مسئله تماس – برخورد از جمله مشکل ترین مسائل محسوب می شود، چرا که افزون بر وجود عوامل غیر خطی مادی هندسی، آخرین عامل غیر خطی ممکن در مکانیک سازه، یعنی تغییر در شرایط مرزی نیز وارد مسئله می شود و اصولاً شرایط مرزی، خود به عنوان قسمتی از حل مسئله به دست می آید. روش های معمول برای حل این گونه مسائل عمدتاً ریشه در دو روش ضرایب لاگرانژ و تابع جریمه دارند و در هر کدام از آن ها سعی می شود که شرط تماس به همراه معادلات تعادل و شرایط مرزی به طور هم زمان ارضاء گردد. هر کدام از این دو روش از لحاظ ریاضی و نیز محاسباتی دارای کمبود های ذاتی است که ریشه در نوع اعمال شرایط مرزی تماس دارد. بنابراین در این کار سعی شده است تا با برنامه نویسی کامپیوتری مناسب باشد و هم کمبودهای ذاتی دو روش فوق را تا حد ممکن جبران نماید.

واژه های کلیدی : مسائل تماس – برخورد، المان محدود غیر خطی، تغییر شکل های محدود/ بزرگ.

مقدمه

مسئله تماس – برخورد اجسام و سازهها از جمله مهم ترین مسائل مهندسی و صنعتی است. بسیاری از مسائل علمی و عملی طراحی و صنعتی برای مقاصد طراحی و یا محاسبه نیروهای خرابی، ناچار از حل گونه ای از این مسئله اند. به عنوان مثال، از صنایع پرس صفحات و قالب گیری ورقها که کاربرد فراوان در صنایع ساختمان و مکانیک دارد و یا، صنایع کشتی سازی، اتوموبیل سازی و … که برای طراحی یا محاسبه ایمنی سیستم باید مقاومت آن در مقابل حالتهای گوناگون تماس – برخورد بررسی گردد، می توان نام برد.

همانند دیگر مسائل مکانیکی سازه، به علت پیچیدگی ذاتی مسئله به جز در حالت های خاص بقیه موارد این مسائل باید با روشهای عددی مورد بررسی قرار گیرند. و از این رو، مانند بسیاری از مسائل هندسی با افزایش قدرت کامپیوترها گرایش به حل این گونه مسائل فزونی یافت و روز به روز فرمول بندیها ریاضی و تکنیکهای بهتر و سریع تری برای این مسئله ارائه گردید. در واقع تحقیقات و مطالعات علمی این رشته از اوائل دهه هفتاد به طور جدی شکل گرفت و تا به امروز پس از گذشت بیش از ۳۰ سال همچنان مورد توجه است و مقالات علمی فراوانی در این زمینه همچنان ارائه و منتشر می گردد. شایان ذکر است که در مسائل تماس یا برخورد، معمولاً بیشتر، یا تمامی، عواملی که منجر به غیر خطی شدن یک مسئله مکانیک سازه  می شود موجود است. به طور کلی این عوامل عبارتند از :

۱-                 رفتار مصالح که غیر خطی بودن مواد نامیده می شود و ناشی از غیر خطی بودن یا غیرالاستیک بودن مواد در محدوده کرنشهای مورد نظر مسئله است. همچنین، عوامل غیر خطی ناشی از حرارت و ویسکازیته می تواند از آن جمله باشد.

۲-                 تغییرات قابل توجه در هندسه سازه اعم از تغییر مکان ها و دوران های بزرگ که غیر خطی هندسی نامیده می شود.

۳-                 خود مسئله تماس که ناشی از تغییر در شرایط مرزی مسئله به هنگام تحلیل است. همچنین مسئله اصطکاک که می تواند منجر به تغییر در شرایط مرزی نیرو های سطحی شود، می تواند در این دسته قرار گیرد.

هدف از این تحقیق، ارائه یک روش برای حل مسئله تماس – برخورد با در نظر گرفتن عوامل     غیر خطی است. البته روش فوق به طور مستقل از عوامل غیر خطی ارائه می شود و هر یک از این عوامل       می تواند در مسئله موجود باشد یا نباشد. در تحقیق حاضر می توان از اثر اصطکاک چشم پوشی نمود، ولی موضوع مورد بحث به قوت خود باقی می ماند زبیرا روش فوق قابل تعمیم به مسائل اصطکاکی نیز هست. روش عددی پایه مورد استفاده برای حل مسئله تماس، روش المان محدود است. به طور خلاصه، در این روش سعی می شود پس از تقسیم بندی المان محدود اجسام در تماس، با وارد نمودن صریح شرایط مرزی تماس در ترکیب ماتریس سختی سازه ها، و استفاده از روش ها و فرمول بندی های غیر خطی مناسب، به طور همزمان معادلات غیر خطی تعادل و شرایط مرزی را برقرار نمود.

تئوری های پایه مسائل تماس – برخورد

تعداد زیاد مقالات و تحقیقاتی که به شبیه سازی عددی مسائل تماس یا تماس – برخورد اختصاص داده می شود، نشان از کاربرد و اهمیت زیاد این موضوع دارد. از نقطه نظر ریاضی، در حالت کلی یک مسئله تماس به طور ذاتی غیر خطی است چرا که سطح تماس در ابتدا ناشناخته است و شرایط مرزی، خود به عنوان قسمتی از حل مسئله تعیین می شوند. طی سه دهه اخیر تکنیک های عددی متفاوی برای شبیه سازی مسائل تماس و تماس – برخورد براساس روش المان محدود ارائه شده است. به کمک این روش ها، مسائل فوق با تمام پیچیدگی ها و درجه بالایی از غیر خطی بودن به دلیل وجود تعییر شکل های بزرگ، اصطکاک و معادلات رفتاری مصالح، با دقت قابل قبولی حل می شوند. مهم ترین قسمت این روش ها، چگونگی وارد کردن شرایط و قیود تماس در مسئله است. در بیشتر روش ها، برای منظور کردن قیود تماس و شرط عدم نفوذ، فرمول بندی های تغییراتی بکار برده می شود. در روش های تغییراتی، قیود تماسی از همان ابتدا در فرمول بندی های تغییراتی وارد می شوند، پایه این روش ها را می توان روش های تابع جریمه و ضرایب لاگرانژ دانست.

روش ضرایب لاگرانژ برای حل مسئله تماس – برخورد

در روش ضرایب لاگرانژ، قیود تماسی توسط معرفی ضرایب لاگرانژ در فرم تغییراتی ورد و بر روی سطوح تماس به طور دقیق اعمال می شوند. مهم ترین نقاط ضعف این روش آن است که ابعاد دستگاه معادله حاصله به علت استفاده از پارامتر های مستقل لاگرانژ افزایش می یابد و ماتریس ضرایب معادلات به علت وجود اعضای قطری صفر، دیگر مثبت معین نبوده و در این حالت احتیاج به تصحیح در روش حل معادلات است. در این روش، ضرایب لاگرانژ مربوط به قیود تغییر مکانی تماس یک تغییر فیزیکی دارند و این ضرایب در واقع عبارتند از نیروی تماسی بین دو جسم. بنابراین برای حل دستگاه، نیرو های تماسی که در ابتدا مجهول اند با تغییر مکان های مجهول ترکیب می شوند. به عنوان برخی کارهای مهم این روش   می توان به مراجع (۴-۱) اشاره نمود.

روش تابع جریمه برای حل مسئله تماس – برخورد

در روش تابع جریمه، نیرو های تماسی متناسب با مقدار نفوذ دو جسم از یکدیگر با معرفی یک پارامتر جریمه فرض می شوند. از لحاظ فیزیکی، این به معنای قراردادن یک سری فنر های اضافی در لایه بین سطوح تماس دو جسم است. از این رو، معادلات هایی شامل هیچ متغیر اضافه ای نبوده و ماتریس سیستم همچنان مثبت معین است. یک نقطه ضعف این روش این است که دقت حل تقریبی آن بستگی تام به عدد جریمه به کار رفته دارد. در مقایسه با روش ضرایب لاگرانژ، قیود تماس فقط به طور تقریبی ارضاء شده و نفوذ دو جسم اجتناب ناپذیر است. مراجع [۹-۵] از جمله کارهای برجسته در این روش است. این روش، در برنامه های کامپیوتری به طور وسیعی مورد استفاده قرار گرفته است.

بیان ریاضی مسئله تماس

در هر صورت، در تمام روش های فوق دو اصل اساسی به عنوان مبنای حل ریاضی یا عددی مسئله اختیار می شود که عبارتند از اصل عدم نفوذ دو جسم در یکدیگر، و اصل تسوی و تقابل نیرو های عمل و عکس العمل بین دو جسم. بدین ترتیب هدف تمام روش های فوق آن است که تغییر مکان های دو جسم به گونه ای محاسبه گردد که پتانسیل سیستم مینیمم شود بدون آن که دو اصل فوق نقض گردد. در ادامه بحث به تشریح بیشتر این روش ها به همراه ارائه مثال پرداخته خواهد شد. بدین منظور شکل (۱)، دو جسم در حال تماس را در زمان t نمایش می دهد. مطابق آن چه در ادبیات مکانیک تماس مرسوم است یکی از دو جسم تماسگر ( Contacotr ) و دیگری هدف ( Target ) نامیده می شود.

در حقیقت شکل ( ۱-الف ) نشان دهنده مدل واقعی یا پیوسته تماس است. همچنین V^(x) و Γ^(x) به ترتیب نمایش دهنده حجم و سطح دو جسم است، که x می تواند C و یا T باشد. سطح هر کدام از دو جسم C یا T می تواند به دو قسمت مطابق زیر افراز شود :

که  مجموعه تهی بوده، و Γ_t و Γ_u به ترتیب نشان دهنده سطوح با نیروهای سطح معلوم و با تغییر مکان های مشخص هستند. هنگام تماس، دو جسم به صورت عمل و عکس العمل، نیروهایی را به یکدیگر وارد می کنند.