مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

دانلود مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

اندازه کمان بر حسب رادیان، دایره مثلثاتی

دانش‌آموزان اولین چیزی را که در مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند این است که شناسه‌های (متغیرهای) این توابع عبارت از اعداد حقیقی هستند. بررسی عباراتی نظیر sin1، cos15، (نه عبارات sin1⁰، cos15⁰،) ، cos (sin1) گاهی اوقات به نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشکل می‌رسد.

با ملاحظه توابع کمانی مفهوم تابع مثلثاتی نیز تعمیم داده می‌شود. در این بررسی دانش‌آموزان با کمانی‌هایی مواجه خواهند شد که اندازه آن‌ها ممکن است بر حسب هر عددی از درجات هم منفی و هم مثبت بیان شود. مرحله اساسی بعدی عبارت از این است که اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) به اندازه رادیان که اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود. در حقیقت تقسیم یک دور دایره به ۳۶۰ قسمت (درجه) یک روش سنتی است. اندازه زاویه‌ها برحسب رادیان بر اندازه طول کمان‌های دایره وابسته است. در اینجا واحد اندازه‌گیری یک رادیان است که عبارت از اندازه یک زاویه مرکزی است. این زاویه به کمانی نگاه می‌کند که طول آن برابر شعاع همان دایره است. بدین ترتیب اندازه یک زاویه بر حسب رادیان عبارت از نسبت طول کمان مقابل به زاویه بر شعاع دایره‌ای است که زاویه مطروحه در آن یک زاویه مرکزی است. اندازه زاویه برحسب رادیان را اندازه دوار زاویه نیز می‌گویند. از آنجا که محیط دایره‌ای به شعاع واحد برابر  است از اینرو طول کمان  برابر  رادیان خواهد بود. در نتیجه  برابر  رادیان خواهد شد.

مثال۱-۱-۱- کمانی به اندازه یک رادیان برابر چند درجه است؟

جواب: تناسب زیر را می‌نویسیم:

اگر  باشد آنگاه  یا  را خواهیم داشت.

مثال ۲-۱-۱ کمانی به اندازه  رادیان برابر چند درجه است؟

حل: اگر  و  باشد آنگاه

۲- دایره مثلثاتی. در ملاحظه اندازه یک کمان چه بر حسب درجه و چه برحسب رادیان آگاهی از جهت مسیر کمان از نقطه مبدا A₁ به نقطه A₂ حائز اهمیت است. مسیر کمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته می‌شود. در حالیکه در جهت حرکت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.

معمولاً انتهای سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی به عنوان نقطه مبدأ اختیار می‌شود. نقطه مبدأ دایره دارای مختصات (۱,۰) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان می‌دهیم. همچنین نقاط D,C,B از این دایره را بترتیب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داریم.

دایره مثلثاتی را با S نشان می‌دهیم. طبق آنچه که ذکر شد چنین داریم:

 ۳- پیچش محور حقیقی به دور دایره مثلثاتی. در تئوری توابع مثلثاتی نگاشت  از R مجموعه اعداد حقیقی روی دایره مثلثاتی که با شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی را ایفا می‌کند:

(۱)    عدد t=0 روی محور اعداد حقیقی با نقطه : A همراه می‌شود.

(۲)    اگر  باشد آنگاه در دایره مثلثاتی نقطه  را به عنوان نقطه مبدا کمان AP₁در نظر گرفته و بر محیط دایره مسیری به طول T را در جهت مثبت اختیار می‌کنیم، نقطه مقصد این مسیر را با P_tنشان داده و عدد t را با نقطه P_t روی دایره مثلثاتی همراه می‌کنیم. یا به عبارت دیگر نقطه P_t تصویر نقطه A=P₀ خواهد بود وقتی که صفحه مختصاتی حول مبدا مختصاتی به اندازه t رادیان چرخانده شود.

(۳)    اگر  باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محیط دایره در جهت منفی، مسیری به طول  را مشخص می‌کنیم. فرض کنید که P_t نقطه مقصد این مسیر را نشان دهد و نقطه‌ای متناظر به عدد منفی t باشد.

همانطوریکه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P این نکته را می‌رساند که نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی در جهت مثبت بر روی S می‌خوابد؛ در حالیکه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی در جهت منفی بر روی S می‌خوابد. این نگاشت بک‌بیک نیست: اگر  به عدد  متناظر باشد یعنی اگر F=P باشد آنگاه این نقطه نیز به اعداد  متناظر خواهد بود:

در حقیقت با افزودن مسیری با طول  (در جهت مثبت و یا در جهت منفی) به مسیری به طول t مجدداً به نقطه F خواهیم رسید. نگاره وارون کامل P^-1(P_t) نقطه P_tبا مجموعه  تطابق دارد.

توجه: عدد t معمولاً با نقطه p_t که متناظر به این عدد است یکی در نظر گرفته می‌شود، با این حال مسائل باید به موضوع مطروحه نیز توجه کرد.

مثال۴-۱-۱- همه اعداد  را که متناظر به نقطه  با مختصات  است تحت نگاشت P بدست آورید.

حل: بدلیل رابطه زیر نقطه F عملا روی S قرار دارد:

فرض می‌کنیم که Y,X پای عمودهای مرسوم از نقطه F بر روی محورهای مختصاتی OX و OY باشند (شکل ۳). آنگاه  بوده و XFO مثلث متساوی‌‌الساقین قائم‌الزاویه خواهد بود:  بدین ترتیب اندازه کمان AF برابر  بوده و به نقطه F فقط اعداد  متناظر می‌شود.

یک تابع متناوب دارای دورهای تناوب نامتناهی است؛ به اینصورت که بر اساس دوره تناوب T و به ازاء هر عددی بصورت  که در آن  به صورت یک عدد صحیح است تابع دارای یک دوره تناوب می‌شود. کوچکترین دوره تناوب مثبت یک تابع متناوب را دوره تناوب بنیادی می‌نامند.

قضیه۱-۱٫ توابع  و  با دوره تناوب بنیادی  متناوب هستند.

قضیه ۲-۱٫ توابع  و  با دوره‌ تناوب بنیادی  متناوب هستند.

برهان قضایای ۱-۱ و ۱-۲ را با استفاده از نمودارهای سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت، و نیز به کمک دایره مثلثاتی می‌توان بطور عادی اثبات کرد. برای اعداد حقیقی  فقط یک نقطه P_X روی دایره مثلثاتی متناظر است از اینرو این اعداد دارای سینوس‌ها و کسینوس‌های یکسانی هستند. در همان حال هیچ عدد مثبت کوچکتر از  نمی‌تواند دوره تناوب توابع  باشد. در حقیقت اگر T دوره تناوب COSx باشد آنگاه cos T=cos (0+t)=cos0=1 خواهد بود. از اینرو به عدد T نقطه P_tبا مختصات (۱,۰) متناظر بوده و در نتیجه عدد T دارای شکل  خواهد بود؛ و بدلیل مثبت بودن آن  را داریم. بطریق مشابه اگر T دوره تناوب تابع sin x باشد آنگاه  بوده و به عدد  نقطه  با مختصات (۰٫۱) متناظر می‌شود. از اینرو  یا  یعنی  را خواهیم داشت.

برای اثبات قضیه ۲-۱ به این نکته توجه می‌کنیم که نقاط  به ازاء t نسبت به مبدا متقارن خواهند بود (عدد  نیمدور از محیط دایره مثلثاتی را نشان می‌دهد) بنابراین مختصات نقاط p_t+و p_t از نظر قدر مطلق برابر بوده و دارای علائم مختلف خواهند بود. یعنی  خواهیم داشت.

بنابراین  دوره تناوب tan t و cot t محسوب می‌شود.

مثال ۱-۳-۱: دوره تناوب بنیادی تابع f(t)= cos t +sin t را بیابید.

حل: بدلیل رابطه تابع / متناوب است:

هیچ عدد مثبت T کوچکتر از  بدلیل

دوره تناوب تابع f(t) محسوب نمی‌شود. در حقیقت اعداد  و  مخالف صفر بوده و علائم مختلفی دارند و اعداد  و  بر هم منطبق بوده و از اینرو داریم: