مقاله روش ژاکوبی برای حل مسائل غیرخطی (رشته ریاضی- کامپیوتر)

مقاله روش ژاکوبی برای حل مسائل غیرخطی (رشته ریاضی- کامپیوتر)
روش ژاکوبی در واقع تعمیمی از روش سیمپلکس برای حل مسائل خطی می‌باشد یا به عبارت دیگر روش ژاکوبی در حالتی خاص همان روش سیمپلکس می‌باشد.
–    تئوری روش مشتق مقید(ژاکوبی)
فرض می‎شود که توابع g,  f دو بار پیوسته مشتق پذیر باشند   (از رده C2). ایده روش ژاکوبی یافتن گوی بسته ای است که در تمام نقاط آن مشتق های جزئی مرتبه اول موجود و شرط g(x)=0 برآورده گردد. همان طور که می دانیم نقاط بحرانی نقاطی اند که مشتقات جزئی تابع در آن‌ها صفر گردد.
برای شناسایی نقاط بحرانی از شرایط کافی به شرح زیر استفاده می کنیم:
شرایط کافی برای نقطه بحرانی   جهت اکسترمم بودن آن است که ماتریس هسیان محاسبه شده در نقطه
۱)    هنگامی که    می نیمم است مثبت باشد .
۲)    هنگامی که    ماکزیمم است منفی باشد .
برای روشن کردن این مفهوم تابع f(x1 , x2) را در نظر می گیریم. هدف می نیمم کردن تابع با توجه به محدودیت g1(x1 , x2) = x2 – b=0 می‎باشد. (b ثابت است.) منحنی ایجاد شده توسط سه نقطه C , B , A مقادیری از f را نمایش می‎دهد که محدودیت اعمال شده همواره برآورده می گردد. روش ژاکوبی، گرادیان f(x1 , x2) را در هر نقطه ای از منحنی ABC تعریف می‌کند. هر نقطه ای که مشتق آن برابر صفر گردد نشان دهنده یک نقطه بحرانی برای این مسئله مقید می‎باشد که در شکل زیر نقطه B ، نقطه موردنظر می‎باشد.

حال یک دستگاه با (n+1) مجهول و (m+1) معادله خواهیم داشت که مجهولاتمان درایه‌های   می باشند   با مشخص شدن   پیدا می‎شود. و این بدان معناست که در واقع m معادله با n مجهول داریم. اگر m>n آن گاه حداقل (m-n) معادله زائد می باشند. پس از حذف آنها، سیستم به تعداد کارایی از معادلات مستقل مانند   کاهش خواهد یافت. برای حالتی که m=n باشد جواب  می‎باشد و این نشان دهنده آن است که X همسایگی قابل قبول ندارد و فضای حل تنها از یک نقطه تشکیل یافته است. در اینجا این حالت موردنظر نیست و ما به بررسی حالت m < n می‎پردازیم.